고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 곱셈공식 증명과 개념확인 연습문제 프린트 학습지

고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 곱셈공식 증명과 개념확인 연습문제 프린트 학습지

고등학교 1학년 1학기 첫 단원이 다항식의 연산이고, 그 중에 가장 먼저 보이는 공식이 '곱셈공식'입니다.

곱셈공식은 연산을 효율적으로 하기 위하여 몇 가지 유형을 만든 것입니다.

곱셈공식을 곧바로 암기하기 보다는 직접 곱셈공식을 유도하는 과정을 손으로 써보면서, '아 그래서 곱셈공식이 이렇게 생긴거구나.'라고 한 번쯤 생각해보는 기회를 갖는게 중요합니다.

곱셈공식

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$
$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$
$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$
$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$
$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$
$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx $

곱셈공식의 증명

곱셈공식의 증명과정은 '분배법칙'에 의한 식의 전개와 동류항끼리 정리입니다.

하나씩 증명하도록 하겠습니다.

참고로 곱셈공식 번호는 임의로 정하였습니다.

1번 곱셈공식

$(x+y)^2$

$=(x+y)(x+y)$

$=x^2+xy+yx+y^2$ ($yx$는 교환법칙에 의해 $xy$가 됨)

$=x^2+xy+xy+y^2$

$=x^2+2xy+y^2$

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

2번 곱셈공식

$(x-y)^2$

$=(x-y)(x-y)$

$=x^2-xy-yx+y^2$

$=x^2-2xy+y^2$

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$

3번 곱셈공식

$(x+y)^3$

$=(x+y)(x+y)(x+y)$

$=(x^2+xy+yx+y^2)(x+y)$

$=(x^2+2xy+y^2)(x+y)$

$=x^3+x^2y+2x^2y+2xy^2+y^2x+y^3$

$=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

4번 곱셈공식

$(x-y)^3$

$=(x-y)(x-y)(x-y)$

$=(x^2-xy-yx+y^2)(x-y)$

$=(x^2-2xy+y^2)(x-y)$

$=x^3-x^2y-2x^2y+2xy^2+y^2x-y^3$

$=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

$(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3$

5번 곱셈공식

$(x+y)(x-y)$

$=x^2-xy+yx-y^2$

$=x^2-y^2$

$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$

6번 곱셈공식

$(x+y+z)^2$

$=(x+y+z)(x+y+z)$

$=x^2+xy+xz+yx+y^2+yz+zx+zy+z^2$

$=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$

$(x+y+z)^2$

$=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$

7번 곱셈공식

$(x+y)(x^2-xy+y^2)$

$=x^3-x^2y+xy^2+yx^2-xy^2+y^3$

$=x^3+y^3$

$(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$

8번 곱셈공식

$(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$=x^3+x^2y+xy^2-yx^2-xy^2-y^3$

$=x^3-y^3$

$(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$

이렇게 주요 곱셈공식에 대해서 증명과 결과식을 정리하였는데요,

교과서나 참고서에 따라 추가되는 공식이 한 두가지 있을 수 있습니다.

곱셈공식을 활용한 개념 확인 문제를 풀고 싶으시면 '모두매쓰'를 이용하시기를 추천드립니다.

모두매쓰는 수학 문제를 무제한으로 생성하여 프린트 할 수 있는 학습 사이트입니다.

그럼 오늘도 즐거운 하루되세요.

[모두매쓰 생성 연습문제]