고등 수학II > 함수의 극한 > 기초 극한값 계산 연습문제 프린트 학습지

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극한값

$x$가 $a$에 한 없이 가까이 다가갈 때, $f(x)$의 값이 하나의 값 $\alpha$에 수렴하면 함수 $f(x)$는 $\alpha$를 극한값으로 가진다고 합니다. 

 

극한값의 존재

$x$가 $a$에 한없이 가까이 다가갈 때, $a$보다 작은 값에서 $a$에 다가가는 경우 $f(x)$가 수렴하는 값을 좌극한, 

$a$보다 큰 값에서 $a$에 다가가는 경우 $f(x)$가 수렴하는 값을 우극한이라 하고, 좌극한의 값과 우극한의 값이 같으면 극한값이 존재한다고 합니다. 

 

극한값이 존재하지 않는 경우 예시

$x$가 $a$에 한없이 가까이 다가갈 때, $a$보다 작은 수에서 $a$로 다가갈 때, $x\to a-$라 표현하고 $f(x)$가 $4$에 수렴하므로 좌극한값은 $4$입니다. 

반대로 $a$보다 큰 수에서 $a$에 다가갈 때, $x\to a+$라 표현하고 $f(x)$가 $6$에 수렴하므로 우극한값은 $6$입니다. 

이때, 좌극한 ≠ 우극한 이므로 극한값은 존재하지 않는다고 합니다. 

 

기초 극한값 연습문제 예시

문제1)

 

함수의 연속 개념에 의하면 쉽게 말해. 모든 실수 $x$에 대하여 함수의 그래프가 연속적이고, 끊어지는 구간이 없다면(=연속함수), 그냥 함수값이 극한값이다고 합니다. $2x+1$은 함수의 그래프를 떠올려보면, 직선이고, 끊어진 구간이 없이 연속하고 있으므로 마치 함수처럼 값을 대입하면 극한값이 됩니다. 따라서 정답은 $7$입니다.

 

문제2)

 

함수의 그래프를 그렸을 때, 과연 끊어진 부분이 없이 선이 연속하는지 생각해야합니다. 만약 그렇다면 그저 $x$에 값을 대입하기만 해도 극한값이기 때문인데요, 위 함수식 ${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{|x-1|}}$의 그래프가 어떤 모양인지 쉽게 판단하기 어려운 상황입니다. 이런 경우에도 그래프를 그려보는 것도 한 방법이지만  '좌극한'과 '우극한'을 각각 구하고 같은지를 살펴보면 됩니다. 

 

1) $x\to 1-$

$x$가 $1$보다 작은 값에서 $1$에 한없이 가까이 다가가므로 $|x-1|=-(x-1)$가 됩니다. 

${\displaystyle \underset{x\to 1-}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{-(x-1)}}={\displaystyle \underset{x\to 1-}{lim}{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{-(x-1)}}={\displaystyle \underset{x\to 1-}{lim}-(x-1)=0}}}$    

 

2) $x\to 1+$

$x$가 $1$보다 작은 값에서 $1$에 한없이 가까이 다가가므로 $|x-1|=(x-1)$가 됩니다. 

${\displaystyle \underset{x\to 1+}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{(x-1)}}={\displaystyle \underset{x\to 1+}{lim}{\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{(x-1)}}={\displaystyle \underset{x\to 1+}{lim}(x-1)=0}}}$    

 

3) 좌극한과 우극한이 같은지 확인

이 경우, 좌극한$=$우극한$=0$ 으로 같기 때문에 극한값은 $0$입니다. 

 

 

이렇게 하여 극한값의 개념을 살펴보고 간단한 극한값 예시를 풀어보았습니다. 

아래는 모두매쓰에서 생성한 극한값 기초 연습문제입니다. 프린트하셔서 풀어보시기 추천드립니다.

 

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