고등 수학(상) > 다항식의 연산 > 분수꼴의 곱셈공식 변형 연습문제 프린트 학습지

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분수형태의 곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형이란 곱셈공식에서 일부분을 좌변 혹은 우변으로 이항시켜서 변형한 식을 말합니다.

가령,

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

가 있을 때, 우변의 $2xy$를 좌변으로 이항하면,

$(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$

이 되는데, 이런 패턴의 식을 곱셈공식을 변형했다고 합니다.

이렇게 곱셈공식을 변형하는 것은 비슷한 패턴을 보이는 항들을 하나의 덩어리로 보는 것이기 때문인데요,

위에서 보는 것과 같이 $x^2$과 $y^2$을 제곱이라는 같은 패턴으로 묶어서 생각하기 때문에 우변에 남겨놓은 거이에요.

곱셈공식의 변형 문제 유형 중에 분수꼴을 가지는 유형이 있어요.

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$

이 공식의 특징은 문자의 종류가 $x$ 하나 뿐이라는 것과 곱셈공식의 결과 상수항이 나온다는 거에요.

이 식을 변형하면 다음과 같아요.

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2$

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}$

관련된 연습문제를 풀어보도록 하겠습니다.

(1)번 문제를 보면, 아까 보셨던 식이 나오는데요,

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}$

이 식의 우변의 식의 값을 구하기 위해 좌변의 식의 값을 찾으면 됩니다.

그런데 문제에서 주어진 조건에는 $x+\dfrac{1}{x}$의 값이 보이지 않아요.

그렇다면 어떻게 구할 수 있을까요?

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+2=27$

즉, $x+\dfrac{1}{x}$는 없지만, $x-\dfrac{1}{x}$의 값은 있고, 이를 제곱하면 $-2$가 나오므로 그것을 $+2$로 미리 없앤다면, 결국 같은 결과가 나옵니다.

다른 풀이도 있습니다.

$\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=-5$ 양변을 제곱해요.

$x^2-2+\dfrac{1}{x^2}=25$

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=27$

이렇게 (1)번의 답이 나왔습니다.

이제 (2)번으로 넘어갈게요.

식을 전개하면,

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=29$

또 다른 풀이로는,

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2+4=29$

즉, $x+\dfrac{1}{x}$을 제곱하면 상수 $+2$가 나오는데, $x-\dfrac{1}{x}$를 제곱할 때, 나오는 상수 $-2$에서 $4$를 더하면 결과는 같아집니다.

이렇게 분수꼴의 곱셈공식 변형 문제를 풀어보았습니다.

아래는 위와 같은 유형의 문제입니다.

모두매쓰에서 만든 문제로써 모두매쓰는 같은 유형의 문제를 무제한으로 생성하여 프린트 할 수 있습니다.

많이 활용하시기를 추천드립니다.

[모두매쓰 생성 연습문제]