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점과 점 사이의 거리

두 점 $A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)$ 사이의 거리는 다음과 같습니다. 

$$\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

 

점과 점 사이의 거리 공식 증명 → 피타고라스의 정리로 증명

좌표평면 위에 두 점  $A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)$이 다음과 같을 때, 

 

$x$축과 $y$축에 평행 선분을 변의 길이로 갖는 직각삼각형을 그리면, 

피타고라스의 정리에 의해 두 점 사이의 거리를 표현할 수 있는데요, 

그러기 위해서는 아랫변과 높이를 나타낼 수 있어야 합니다. 

 아랫변 $\overline{AC}=|x_1-x_2|$, 높이 $\overline{BC}=|y_1-y_2|$이므로

피타고라스의 정리에 의하면

$$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2$$

$$\overline{AB}^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$

$$\overline{AB}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

 

이렇게 점과 점 사이의 거리를 증명하였습니다. 

개념을 적용하는 문제를 몇 개 풀어보도록 하겠습니다. 

 

문제1)

 점과 점 사이의 거리 공식에 대입하면, 

$\overline{AB}=\sqrt{(-3-1)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

 

문제2)

$\overline{AB}=\sqrt{(a-3)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{74}$

양변을 제곱하면, 

$(a-3)^2+25=74$

$(a-3)^2=49$

$a-3=±7$

$a=10$ 또는 $a=-4$

 

 

이렇게 하여 점과 점 사이의 거리 공식과 증명을 학습하고 문제풀이를 하였습니다. 

 

점과 점사이의 거리 공식을 연습할 수 있는 연습문제를 풀기 위해 '모두매쓰'를 사용하시기를 추천드립니다. 

모두매쓰는 초중고 수학 문제를 생성하여 프린트하는 사이트입니다. 

그럼 오늘도 좋은 하루되세요. 

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