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삼차방정식의 근과 계수와의 관계

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 할 때, 

$$\alpha +\beta +\gamma =-{\displaystyle \frac{b}{a}}$$

$$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ={\displaystyle \frac{c}{a}}$$

$$\alpha \beta \gamma =-{\displaystyle \frac{d}{a}}$$

 

최고차항의 계수가 1이고, 세 근이 $\alpha ,\beta ,\gamma$일 때, 

$(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0$이고, 전개하면

$x^3-(\alpha +\beta +\gamma )x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma =0$

 

개념을 활용한 근과 계수와의 관계 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 

 

(1) $\alpha +\beta +\gamma =-2$

(2) $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-5$

(3) $\alpha \beta \gamma =2$

(4) ${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$

 

     $={\displaystyle \frac{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha }{\alpha \beta \gamma }}$

 

     $={\displaystyle \frac{-5}{2}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

 

 

이렇게 삼차방정식의 근과 계수와의 관계 공식을 적용한 문제를 풀어봤습니다. 

추가적인 연습문제는 아래와 같습니다. 

 

'모두매쓰'에서 생성한 수학 문제입니다. 

 

www.modoo-math.com 

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