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삼차방정식의 근과 계수와의 관계

$ax^3+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 할 때, 

$$\alpha + \beta + \gamma = -\dfrac{b}{a}$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$$

$$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$$

 

최고차항의 계수가 1이고, 세 근이 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$일 때, 

$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$이고, 전개하면

$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0$

 

개념을 활용한 근과 계수와의 관계 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 

 

(1) $\alpha+\beta+\gamma=-2$

(2) $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-5$

(3) $\alpha\beta\gamma=2$

(4) $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$

 

     $=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$

 

     $=\dfrac{-5}{2}=-\dfrac{5}{2}$

 

 

이렇게 삼차방정식의 근과 계수와의 관계 공식을 적용한 문제를 풀어봤습니다. 

추가적인 연습문제는 아래와 같습니다. 

 

'모두매쓰'에서 생성한 수학 문제입니다. 

 

www.modoo-math.com 

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