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삼차 이상의 방정식을 고차방정식이라고 하는데요, 

일차방정식은 등식의 성질을 이용하여 풀고, 이차방정식은 근의 공식, 인수분해 등의 방법이 있지만, 

삼차 이상의 방정식은 근의 공식을 교과서에서 알려주지 않고, 또 매우 복잡해요. 

 

따라서 삼차 이상의 방정식은 '인수정리'를 이용하여 근을 대입해서 찾습니다. 

 

인수정리

f(a)=0이 되는 a의 값을 구하고, (x-a)Q(x)꼴로 인수분해하는 것을 말합니다. 

 

삼차식을 일차식으로 인수정리하면, 나머지는 이차식이 되므로 이차방정식의 근을 구하는 방법으로 해를 구합니다. 

 

문제 예시를 통해 살펴보면,

$x=-2$를 대입하면, 

$(-2)^3+8=0$이 성립하므로, $(x+2)$로 인수정리하면, 

$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$가 됩니다. 

나머지 근은 $x^2-2x+4=0$이 되는 이차방정식의 해이고, 근의 공식에 대입하면, 

$1±\sqrt{3}i$인 허근이 됩니다. 

따라서 삼차방정식의 해는 $x=-2\ or \ x=1+\sqrt{3}i\ or\ x=1-\sqrt{3}i$입니다.

 

사차방정식도 마찬가지로 인수정리로 해결하면 되는데요, 

문제 예시를 보면, 

$x=2$를 대입하면 성립하므로,

$x^4-16=(x-2)(x^3+2x^2+4x+8)$

이때 $x^3+2x^2+4x+8=0$이 되는 $x$의 값은 $=-2$이므로

$(x+2)(x^2+4)$

여기까지 정리하면 $(x-2)(x+2)(x^2+4)$이고 $x^2+4=0$의 해를 구하면 총 4개의 근을 모두 구하게 됩니다. 

따라서 해는 $x=2,\ -2,\ 2i,\ -2i$입니다. 

 

물론 위 문제를 인수정리가 아닌 '인수분해'로 풀 수 있고, 그게 더욱 간편합니다. 

$x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2+4)(x^2-4)=0$

$(x^2+4)(x+2)(x-2)=0$

해를 구하면 동일하게 나옵니다.

 

이렇게 삼차방정식과 사차방정식의 고차방정식 문제를 풀어봤습니다. 

인수정리와 인수분해 중에서 우선 인수분해가 되는지 보고, 그렇지 않으면 인수정리로 해결하는 것이 가장 좋습니다. 

 

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