수학(하) > 집합 > 원소가 n개인 집합의 부분집합의 개수의 공식과 원리

수학(하) > 집합 > 원소가 n개인 집합의 부분집합의 개수의 공식과 원리

부분집합의 개수를 구하는 문제는 공식에 대입하면 매우 쉽게 해결할 수 있어요.

부분집합의 개수를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

n은 원소의 개수이므로 위 문제의 정답은 32개가 됩니다.

그런데, 이 공식은 어떤 원리로 만들어진 것일까요?

이 공식의 원리는 '경우의 수'를 구하는 방법과 관련이 있습니다. 위 문제를 그림으로 바꾸어서 풀어보죠.

만약 이 그림을 1부터 5까지의 자연수라는 '음식'이 담긴 접시라고 상상해봐요. 그럼 접시를 들고 가서 어떤걸 먹을지 말지 고민을 하겠죠. 순서대로 '먹을지' '안 먹을지'에 대한 2가지 경우의 수를 생각하는 과정이 부분집합을 만드는 과정과 같아요.

그럼 2,4,5 접시를 선택하였다고 생각해봐요. 그럼 나의 접시는 다음과 같은 그림이 되겠죠.

이렇듯 마치 뷔페에서 음식을 고르는 것처럼 집합의 원소를 하나씩 고르는 각각의 2가지 경우를 '동시에' 모두 고려하는 과정이 2를 거듭해서 곱하는 경우와 같기 때문에 다음과 같은 공식이 나온 것이랍니다. 음식의 개수가 n개 이면 각각에 대해서 선택하거나 선택하지 않는 2가지 경우를 모두 생각하는 거죠.

그럼 다음과 같은 문제는 어떻게 해결할까요?

이 문제의 부분집합의 개수를 구하려면 각 원소를 선택의 관점에서 바라보면 되는데요, 4,와 5는 이미 선택이 끝났기 때문에 개수에서 제외시켜야 합니다.

이 그림에서처럼 이미 4와 5는 선택이 끝났으므로 접시에 담는 경우의 수는 1가지예요. 그러므로 선택하는 원소의 개수에서 2를 빼는 것이죠.

따라서 정답은 8개의 부분집합이 나온다 입니다.

끝으로 문제 하나를 더 풀어볼까요?

이 문제는 포함하는 것도 있지만 포함하지 않는 원소도 있습니다. 그럼 포함하는 원소와 다르게 풀어야 할까요?

이때 주의할 점은 포함하기로 '선택'하는 것과 포함하지 않기로 '선택'하는 것은 똑같이 이미 선택이 끝난 원소라는 거에요. 따라서 전체 원소 5개에서 3개를 똑같이 제외시켜서 부분집합의 개수를 구하는거랍니다.

따라서 이 문제의 정답은 2를 네 번 곱한 16가지의 부분집합의 개수입니다.

이렇게 부분집합의 개수를 구하는 문제와 공식의 원리에 대해서 알아보았습니다.

공식의 원리 이해에 도움이 되었길 바래요.

이 문제는 인공지능 수학 문제 생성 사이트 '모두매쓰'에서 만들었습니다. 더 많은 문제를 연습하려면 '모두매쓰'를 이용하길 추천드립니다. 문제를 프린트하려면 꼭 PC 데스크탑을 이용하길 바래요.

그럼 좋은 하루되세요~