중등 2학년 수학 > 삼각형의 내심과 외심 > 직각삼각형의 빗변의 중심이 외심인 이유 연습문제 프린트 학습지

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직각삼각형의 빗변의 중점은 항상 외심인데요, 직각삼각형의 피타고라스의 정리도 굉장히 많이 활용되지만 그것에 못지 않게 빗변의 중점도 문제에서 굉장히 빈번하게 등장합니다. 이번 포스팅에서는 직각삼각형의 빗변의 중점이 외심이 되는 이유를 증명하고 개념 문제도 함께 풀이해보도록 하겠습니다.

아래 그림을 보시면,

선분AB의 수직이등분선이 선분AC와 만나는 점을 F라 하면 아래와 같은 개념에 의해 F는 선분AC의 중점이 돼요.

즉, 선분AB의 중점D을 지나고 선분BC와 평행한 직선이 선분AC와 만날 때, 점E는 선분AC의 중점이 됩니다.

그 까닭까지 더 깊게 들어가면, 삼각형 ADE와 삼각형 ABC는 AA닮음 삼각형이고 닮음비가 1:2이기 때문입니다.

따라서 같은 이유로 위 직각삼각형에서 선분BC의 수직이등분선이 만나는 점도 역시 선분AC의 중점인 F가 되므로 두 수직이등분선이 선분AC의 중점 F에서 만납니다.

외심을 찾을 때 모든 변의 수직이등분선을 모두 그릴 필요없이 두 개만 그어서 만나는 교점을 찾아도 외심인데요,

따라서 직각삼각형은 빗변의 중점이 항상 '외심'이 됩니다.

이제 개념을 활용하는 문제를 하나 풀어보도록 할게요.

직각삼각형ABC의 빗변의 중점 O는 곧 외심이고 선분AB는 외접원의 지름이죠. 따라서 선분OC는 반지름으로서 길이는 $8\ cm$입니다. 정답은 4번입니다.

문제를 하나 더 풀어볼까요.

삼각형 ABC는 직각삼각형이며 점M은 빗변의 중점이므로 외심입니다. 따라서 선분AM=선분BM=선분CM 은 외접원의 반지름으로서 길이가 같으므로 삼각형ABM은 이등변삼각형입니다.

각ABM이 30도이므로 각BAM도 30도이고, 각AMC는 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같으므로 60도입니다. 정답은 2번입니다.

이렇게 직각삼각형의 빗변의 중점이 외심인 이유를 증명하고, 개념과 관련된 문제 2개를 풀어봤어요.

위 유형의 문제를 더 많이 연습해보고 싶으시면 아래 이미지를 클릭하셔서 '모두매쓰'에 접속해보시길 추천드립니다.