중등 2학년 수학 > 도형의 닮음 > 수선의 발을 내린 직각삼각형의 닮음 개념정리 연습문제 프린트 학습지

중등 2학년 수학 > 도형의 닮음 > 수선의 발을 내린 직각삼각형의 닮음 개념정리 연습문제 프린트 학습지

중학교 수학에서 굉장히 유명한 도형이 있습니다. 바로 직각삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변에 수선의 발을 내린 도형이에요.

이 도형을 분석해보겠습니다. 직각삼각형이 몇 개일까요?

3개입니다. 이 3개의 삼각형이 언뜻 보기에는 다 다르게 생긴 것 같지만 모두 닮음 삼각형이 맞습니다. 즉 회전시키고 축소하거나 확대하면 겹쳐지게 돼요.

그럼 닮음 조건을 찾아볼게요.

두 각의 합이 90도라고 하면, 다음과 같이 각을 표시할 수 있어요.

삼각형ABD, 삼각형ACD, 삼각형ABC는 모두 AA닮음이라는 것을 알 수 있어요.

이 직각삼각형의 닮음에서 주로 다루는 공식과 공식의 증명에 대해서 정리에 초점을 맞춰서 설명해볼게요.

공식1)

증명)

삼각형ABD와 삼각형ABC는 AA달음인데요, .

닮음 삼각형으로 비례식을 세우는 과정은 다음과 같습니다.

이 비례식을 만드는 원리로 비례식을 세워보면 다음과 같습니다.

$\text{가장 긴 변}:\text{가장 짧은 변}$

$\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{AB}}$

이 비례식을 내항끼리의 곱=외합끼리의 곱으로 나타내면,

$\overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{BD}}\times{\overline{\mathrm{BC}}}$

이렇게 처음에 소개한 공식이 탄생하게 됩니다.

그럼, 같은 원리로 나머지 공식과 그 원리를 설명하겠습니다.

공식2)

증명)

두번째로 큰 삼각형과 가장 큰 삼각형의 닮음비를 이용하면,

$\text{가장 긴 변}:\text{두번째로 긴 변}$

$\overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{AC}}$

$\overline{\mathrm{AC}}^2=\overline{\mathrm{CD}}\times{\overline{\mathrm{BC}}}$

공식3)

증명)

$\text{두번째로 짧은 변}:\text{첫번째로 짧은 변}$

$\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{BD}}=\overline{\mathrm{CD}}:\overline{\mathrm{AD}}$

$\overline{\mathrm{AD}}^2=\overline{\mathrm{BD}}\times{\overline{\mathrm{CD}}}$

넓이 공식(소공식)

삼각형ABC의 넓이를 구하기 위한 방법은 2가지가 있는데요,

$\overline{BC}$를 밑변, $\overline{AD}$를 높이로 하는 삼각형과

$\overline{AB}$를 밑변, \overline{AC}$를 높이로 하는 삼각형이에요.

어차피 둘다 $\dfrac{1}{2}$이 똑같이 곱해지므로 생략하면,

$\overline{BC}\times{\overline{AD}}=\overline{AB}\times{\overline{AC}}$

즉 그림으로 보면 다음과 같습니다.

이렇게 수선의 발을 내린 직각삼각형의 닮음 공식과 증명, 그리고 소공식에 대해서도 알아보았습니다.

그럼 연습문제 하나 풀어보도록 할게요.

이 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있어요.

1. 삼각비로 푼다.(단, 특수각이 있는 직각삼각형인 경우)

2. 피타고라스의 정리와 도형의 닮음으로 푼다.

여기서는 2번으로 문제를 해결해보겠습니다.

우선 삼각형ACH에서 선분AH의 길이를 구하기 위해 피타고라스의 정리를 활용하면,

$\overline{\mathrm{AC}}^2=\overline{\mathrm{AH}}^2+\overline{\mathrm{CH}}^2$

$4=\overline{\mathrm{AH}}^2+3$

$\overline{\mathrm{AH}}^2=1$

$\overline{\mathrm{AH}}=1$

이제 위에서 학습한 공식을 적용해보겠습니다. 단, 공식이 생각나지 않으면 닮음비를 활용해서 비례식을 세우면 됩니다.

식을 세우면,

$2^2=1\times{x}$

$x=4$

이제 선분BC를 구하기 위하여 삼각형ABC로 피타고라스의 정리를 사용하면 됩니다.

$4^2=2^2+\overline{\mathrm{BC}}^2$

$16=4+\overline{\mathrm{BC}}^2$

$12= \overline{\mathrm{BC}}^2$

$ \overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

따라서 정답은 $2\sqrt{3}$입니다.

이렇게 연습문제까지 풀어보았습니다.

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그럼 오늘도 즐거운 하루되세요.

[모두매쓰 생성 연습문제]